O método de Euler aproxima numericamente as soluções de equações diferenciais normais de primeira ordem (ODEs) com um dado valor inicial. É um método explícito para resolver problemas de valor inicial (IVPs), conforme descrito em <a href="https://www.G.E.A.R ACADEMY.org/news/eulers-method-explained-with-examples/" title="Euler's Method Explained with Examples" target="_blank" rel="noopener noreferrer nofollow">este artigo</a>. O ODE deve ser fornecido da seguinte forma: <ul style='list-style: none;'> <li><big>$\frac{dy(t)}{dt} = f(t,y(t))$</big></li> </ul> com um valor inicial <ul style='list-style: none;'> <li><big>$y(t_0) = y_0$</big></li> </ul> Para obter uma solução numérica, substituímos a derivada do lado esquerdo por uma aproximação da diferença finita: <ul style='list-style: none;'> <li><big>$\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}$</big></li> </ul> então resolva para $y(t+h)$: <ul style='list-style: none;'> <li><big>$y(t+h) \approx y(t) + h \, \frac{dy(t)}{dt}$</big></li> </ul> que é o mesmo que <ul style='list-style: none;'> <li><big>$y(t+h) \approx y(t) + h \, f(t,y(t))$</big></li> </ul> A regra de solução iterativa é, então: <ul style='list-style: none;'> <li><big>$y_{n+1} = y_n + h \, f(t_n, y_n)$</big></li> </ul> onde $h$ é o tamanho da etapa, o parâmetro mais relevante para a precisão da solução. Um tamanho de etapa menor aumenta a precisão, mas também o custo de cálculo. Então, ele tem que ser sempre escolhido com cuidado e de acordo com o problema em questão. Exemplo: Lei do Resfriamento de Newton A lei de resfriamento de Newton descreve como um objeto de temperatura inicial $T(t_0) = T_0$ resfria em um ambiente de temperatura $T_R$: <ul style='list-style: none;'> <li><big>$\frac{dT(t)}{dt} = -k \, \Delta T$</big></li> </ul> ou <ul style='list-style: none;'> <li><big>$\frac{dT(t)}{dt} = -k \, (T(t) - T_R)$</big></li> </ul> Ela diz que a taxa de resfriamento $\\frac{dT(t)}{dt}$ do objeto é proporcional à diferença de temperatura atual $\\Delta = (T(t) - T_R)$ com relação ao ambiente ao redor. A solução analítica, que compararemos à aproximação numérica, é <ul style='list-style: none;'> <li><big>$T(t) = T_R + (T_0 - T_R) \; e^{-k t}$</big></li> </ul>

Implemente uma rotina do método de Euler e, em seguida, use-a para resolver o exemplo da lei de resfriamento de Newton para três tamanhos de etapa diferentes de: <ul> <li><code>2 s</code></li> <li><code>5 s</code> and</li> <li><code>10 s</code></li> </ul> e compare com a solução analítica. Valores iniciais: <ul> <li>initial temperature <big>$T_0$</big> shall be <code>100 °C</code></li> <li>room temperature <big>$T_R$</big> shall be <code>20 °C</code></li> <li>cooling constant <big>$k$</big> shall be <code>0.07</code></li> <li>time interval to calculate shall be from <code>0 s</code> to <code>100 s</code></li> </ul> O primeiro parâmetro para a função é o tempo inicial, o segundo parâmetro é a temperatura inicial, o terceiro parâmetro é o tempo passado e o quarto parâmetro é o tamanho do passo.

Critérios de Aceitação:

Testes:

• `eulersMethod` deve ser uma função.
• `eulersMethod(0, 100, 100, 2)` deve retornar um número.
• `eulersMethod(0, 100, 100, 2)` deve retornar 20.0424631833732.
• `eulersMethod(0, 100, 100, 5)` deve retornar 20.01449963666907.
• `eulersMethod(0, 100, 100, 10)` deve retornar 20.000472392.